حاسبة المصفوفات


Matrix (A)


Matrix (B)




ما هو جبر المصفوفات؟

  • جبر المصفوفات هو وسيلة لإجراء حسابات على مصفوفات من الأرقام (أو البيانات) سواء عمليات ضرب اوطرح او قسمة او غيرها من العمليات الحسابية.

استخدام المصفوفات

  • جبر المصفوفات يجعل التعبير الرياضي والحساب أسهل
  • يتيح لك التخلص من التدوين المرهق والتركيز على المفاهيم المعنية وفهم مصدر نتائجك.

تعريفات

  1. تعريفات مهمة للمصفوفات
  2. تدوين المصفوفة
  3. المصفوفات المتساوية
  4. جمع وطرح المصفوفات
  5. ضرب المصفوفات فى رقم ثابت
  6. عكس المصفوفات
  7. المصفوفات الخاصة
  8. ضرب مصفوفتين او اكثر
  9. محدد المصفوفات المربعة
  10. مقلوب مصفوفة مربعة
  11. حل نظام المعادلات الخطية
  12. القِيَم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفات

تعريفات مهمة للمصفوفات

  • المصفوفة هي مجموعة من الأرقام الحقيقية أو المركبة (تسمى العناصر) مرتبة في صفوف وأعمدة لتشكيل مصفوفة.
  • كل مصفوفة تتكون من عدد من الصفوف والاعمدة .المصفوفة التي تتكون من 2 صف و 3 عمود تسمي 572638 مصفوفة 2 × 3.
  • المصفوفة هي مجموعة من الارقام
    صفوف المصفوفة يمكنها ان تمثل او تعبر عن مجموعة من الاشخاص او الحيوانات او العناصر والاعمدة تمثل مجموع وخصائص لتلك الاعمدة
    أبعاد المصفوفة هو عدد الصفوف والاعمدة ويمكن تمثيلها فى هذا الشكل

  • scalar a scalar is a number (denoted with regular type: 1 or 22).
  • Vector A matrix with one column (column vector) or one row (row vector).
  • Row vector A row vector consists of a single row. For example: 572638
  • Column vector A column matrix consists of a single column. For example: 638
  • Double suffix notation Each element of a matrix has its own address denoted by double suffices, the first indicating the row and the second indicating the column. For example, the elements of 3 × 4 matrix can be written as:

Matrix Notation

Where there is no ambiguity a matrix can be represented by a single general element in brackets or by a capital letter in bold type.


Equal matrices

Two matrices are equal if corresponding elements throughout are equal


Addition and Subtraction

Where


Addition and subtraction of matrices

Two matrices are added (or subtracted) by adding (or subtracting) corresponding elements. For example:

 


Multiplication of matrices

 

  1. Scalar multiplication
  2. Multiplication of two or more matrices

 

Scalar multiplication

To multiply a matrix by a single number (a scalar), each individual element of the matrix is multiplied by that number. For example;

That is:

 

 

Properties of matrix addition and scalar multiplication

Then :-

  • A+BA=ABA+AA Commutative law for addition
  • A+(B+C)=(A+B)+C Associative law for addition
  • (cd)A=c(dA) Associative law for scalar multiplication
  • 1A=A Unit element for scalar multiplication
  • c(A+B)=cA+cB Distributive law 1 for scalar multiplication
  • (c+d)A=cA+dA Distributive law 2 for scalar multiplication

Properties of zero matrices

 

 

 

Then

 

the additive identity for all m×n matrices

 

the additive inverse of A

 


Transpose of a matrix

If a new matrix is formed by interchanging rows and columns the new matrix is called the transpose of the original matrix. For example, if:

 

 

Thus

 

If A = AT, then A is symmetric

Symmetric matrix

A square matrix A is symmetric if  A = AT

 

Skew-symmetric matrix:

 

A square matrix A is skew-symmetric if  AT = A


TYPES OF MATRICES

NAME DESCRIPTION EXAMPLE

Row matrix

A matrix with only 1 row

3214

Column matrix

A matrix with only I column

23

Identity matrix

Diagonal matrix having each diagonal element equal to one (I)

1001

Zero matrix

A matrix with all zero entries

0000

Upper Triangular matrix

Square matrix having all the entries zero below the principal diagonal

256046007

Lower Triangular matrix

Square matrix having all the entries zero above the principal diagonal

200540367

Special matrices

  • Square matrix
  • Diagonal matrix
  • Unit matrix (identity matrix)
  • Null matrix

Square matrix

  • A square matrix is of order m × m.
  • A square matrix is symmetric if For example: 122289594
  • A square matrix is skew-symmetric if For example 025-209-5-90

Diagonal Matrices.

 

A diagonal matrix is a square matrix that has values on the diagonal with all off-diagonal entities being zero

 

 

 

Identity Matrix (Unit Matrix)

  • An identity matrix is a diagonal matrix where the diagonal elements all equal one. I=1000010000100001
  • It is named I and it comes in different sizes. I2=1001 I3=100010001

Null Matrix (Zero Matrix)

A square matrix where all elements equal zero

0000000000000000



Properties of zero matrices



A matrix is a rectangular array of different numbers. we can do different operations like addition, multiplication or subtraction.

Matrix size is the number of rows and columns of matrix. the matrix with (m rows) and (n columns) is called m × n. the m & n are calles its dimensions. for example if matrix (A) has 4 rows and 3 columns. we said A is 4 × 3 matrix

The sum A+B of two m-by-n matrices A and B is calculated entrywise:

(A + B)i,j = Ai,j + Bi,j, where 1 ≤ im and 1 ≤ jn.

1111+1111=2222

يشترط لجمع مصفوفتين ان يكون عدد الصفوف فى المصفوفة الاولي مساوي لعدد الصفوف فى المصفوفة الثانية و عدد الاعمدة فى المصفوفة الاولي مساوي عدد الاعمدة فى المصفوفة الثانية

The product cA of a number c and a matrix A is computed by multiplying every entry of A by c:

(cA)i,j = c · Ai,j.

The transpose of an m-by-n matrix A is the n-by-m matrix AT (also denoted Atr or tA) formed by turning rows into columns and vice versa:

(AT)i,j = Aj,i.

شروط طرح مصفوتين هى نفسها شروط جمع مصفوفتين . يشترط لطرح مصفوفتين ان يكون عدد الصفوف فى المصفوفة الاولي مساوي لعدد الصفوف فى المصفوفة الثانية و عدد الاعمدة فى المصفوفة الاولي مساوي عدد الاعمدة فى المصفوفة الثانية

يشترط لضرب مصفوفتين ان يكون عدد الاعمدة فى المصفوفة الاولي مساوي لعدد الصفوف فى المصفوفة الثانية