حاسبة المصفوفات

ما هو جبر المصفوفات؟

• جبر المصفوفات هو وسيلة لإجراء حسابات على مصفوفات من الأرقام (أو البيانات) سواء عمليات ضرب اوطرح او قسمة او غيرها من العمليات الحسابية.

استخدام المصفوفات

• جبر المصفوفات يجعل التعبير الرياضي والحساب أسهل
• يتيح لك التخلص من التدوين المرهق والتركيز على المفاهيم المعنية وفهم مصدر نتائجك.

تعريفات

1. تعريفات مهمة للمصفوفات
2. تدوين المصفوفة
3. المصفوفات المتساوية
4. جمع وطرح المصفوفات
5. ضرب المصفوفات فى رقم ثابت
6. عكس المصفوفات
7. المصفوفات الخاصة
8. ضرب مصفوفتين او اكثر
9. محدد المصفوفات المربعة
10. مقلوب مصفوفة مربعة
11. حل نظام المعادلات الخطية
12. القِيَم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفات

تعريفات مهمة للمصفوفات

• المصفوفة هي مجموعة من الأرقام الحقيقية أو المركبة (تسمى العناصر) مرتبة في صفوف وأعمدة لتشكيل مصفوفة.
• كل مصفوفة تتكون من عدد من الصفوف والاعمدة .المصفوفة التي تتكون من 2 صف و 3 عمود تسمي $\left(\begin{array}{ccc}5& 7& 2\\ 6& 3& 8\end{array}\right)$ مصفوفة 2 × 3.
• المصفوفة هي مجموعة من الارقام
  صفوف المصفوفة يمكنها ان تمثل او تعبر عن مجموعة من الاشخاص او الحيوانات او العناصر والاعمدة تمثل مجموع وخصائص لتلك الاعمدة
  أبعاد المصفوفة هو عدد الصفوف والاعمدة ويمكن تمثيلها فى هذا الشكل
  
  
• scalar a scalar is a number (denoted with regular type: 1 or 22).
• Vector A matrix with one column (column vector) or one row (row vector).
• Row vector A row vector consists of a single row. For example: $\left(\begin{array}{ccc}5& 7& 2\\ 6& 3& 8\end{array}\right)$
• Column vector A column matrix consists of a single column. For example: $\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 8\end{array}\right)$
• Double suffix notation Each element of a matrix has its own address denoted by double suffices, the first indicating the row and the second indicating the column. For example, the elements of 3 × 4 matrix can be written as:

Matrix Notation

Where there is no ambiguity a matrix can be represented by a single general element in brackets or by a capital letter in bold type.

Equal matrices

Two matrices are equal if corresponding elements throughout are equal

Addition and Subtraction

Where

Addition and subtraction of matrices

Two matrices are added (or subtracted) by adding (or subtracting) corresponding elements. For example:

 

Multiplication of matrices

 

1. Scalar multiplication
2. Multiplication of two or more matrices

 

Scalar multiplication

To multiply a matrix by a single number (a scalar), each individual element of the matrix is multiplied by that number. For example;

That is:

 

 

Properties of matrix addition and scalar multiplication

Then :-

• $A+BA=ABA+AA$ Commutative law for addition
• $A+(B+C)=(A+B)+C$ Associative law for addition
• $\left(cd\right)A=c\left(dA\right)$ Associative law for scalar multiplication
• $1A=A$ Unit element for scalar multiplication
• $c(A+B)=cA+cB$ Distributive law 1 for scalar multiplication
• $(c+d)A=cA+dA$ Distributive law 2 for scalar multiplication

Properties of zero matrices

 

 

 

Then

 

the additive identity for all m×n matrices

 

the additive inverse of A

 

Transpose of a matrix

If a new matrix is formed by interchanging rows and columns the new matrix is called the transpose of the original matrix. For example, if:

 

 

Thus

 

If A = AT, then A is symmetric

TYPES OF MATRICES

NAME	DESCRIPTION	EXAMPLE
Row matrix	A matrix with only 1 row	$\left(\begin{array}{cccc}3& 2& 1& 4\end{array}\right)$
Column matrix	A matrix with only I column	$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$
Identity matrix	Diagonal matrix having each diagonal element equal to one (I)	$\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|$
Zero matrix	A matrix with all zero entries	$\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right|$
Upper Triangular matrix	Square matrix having all the entries zero below the principal diagonal	$\left[\begin{array}{ccc}2& 5& 6\\ 0& 4& 6\\ 0& 0& 7\end{array}\right]$
Lower Triangular matrix	Square matrix having all the entries zero above the principal diagonal	$\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 5& 4& 0\\ 3& 6& 7\end{array}\right]$

Special matrices

• Square matrix
• Diagonal matrix
• Unit matrix (identity matrix)
• Null matrix

Square matrix

• A square matrix is of order m × m.
• A square matrix is symmetric if For example: $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 8& 9\\ 5& 9& 4\end{array}\right)$
• A square matrix is skew-symmetric if For example $\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 5\\ -2& 0& 9\\ -5& -9& 0\end{array}\right)$

Diagonal Matrices.

 

A diagonal matrix is a square matrix that has values on the diagonal with all off-diagonal entities being zero

 

 

 

Identity Matrix (Unit Matrix)

• An identity matrix is a diagonal matrix where the diagonal elements all equal one. $I=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

• It is named I and it comes in different sizes. $I2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ $I3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Null Matrix (Zero Matrix)

A square matrix where all elements equal zero

$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Properties of zero matrices